家族と折り合いが悪く、身寄りがいないわけではないですが、身寄りをお願いしたい場合は、受けてくださるでしょうか？

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身元引受の契約はご家族などの身寄りが要る場合であってもご本人の意思により結ぶことが可能です。
身寄りがいないという状態は、実際に身寄りがいないときだけに限らず、遠方に住んでいたり、あるいは疎遠になったりして、ご本人が望むときに、例えば同意書を書くなどの行為ができないことをさします。

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