国に没収されることになるのでしょうか？

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相続人がいらっしゃらない場合の手続は下記のようなものになると思います。
相続財産管理人の選任　
　（１）利害関係人や検察官の請求により、
　（２）家庭裁判所は、
　（３）「相続財産管理人」を選任します。
　（４）家庭裁判所は、相続財産管理人が選任されたことを官報で公告する。

債権者・受遺者への弁済
　（１）前記の公告から２ヶ月が経過しても相続人の申し出がなければ、
　（２）相続財産管理人は、債権者に２ヶ月以上の期間を定めて公告。
　
相続人捜索の公告
　　（１）前記の期間が経過してもなお相続人が名乗り出なかった場合、（２）相続財産管理人や検察官の請求により、
　　（３）更に６ヶ月以上の期間を定めて相続人を捜すための公告を行う。
　　（４）そして、この期間を待っても相続人が現れなければ
　　（５）相続人不存在が確定。

特別縁故者の財産分与の請求
　（１）特別の縁故がある人（介護していた人など）は
　（２）相続人不存在が確定してから３ヶ月以内であれば
　（３）財産の分与を請求することができます。
　（４）特別縁故者への分与の後、
　（５）残りの財産があればそれが国庫に納められます。
　
相続人がいないといっても、誰かに遺したいとお考えの場合は、特別縁故者であると家裁に認めさせるために、遺言やエンディングノートに記載すればよいと思います。

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